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\begin{document}
\title{\"Uber nicht in derselben Ebene gelegene gekr\"ummte Linien, die mit der Eigenschaft des Maximums oder Minimums versehen sind
\footnote{
Originaltitel: "'De lineis curvis non in eodem plano sitis, quae maximi minimive proprietate sunt praeditae"', erstmals publiziert in "`\textit{Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4} 1813, pp. 18-42"', Nachdruck in "`\textit{Opera Omnia}: Series 1, Volume 25, pp. 293 - 313 "', Eneström-Nummer E740, übersetzt von: Alexander Aycock, Textsatz: Arseny Skryagin, im Rahmen des Projektes "`Euler-Kreis Mainz"'}}
\author{Leonhard Euler}
\date{ }
\maketitle
\paragraph{§1}

Was bisher \"uber die sich einer gewissen Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuenden gekr\"ummten Linien angegeben worden ist, bezieht sich nur auf gekr\"ummete Linien solcher Art, die in derselben Ebene beschrieben werden k\"onnen, deren Beschaffenheit darin gelegen ist, dass die das Maximum oder Minimum involvierende Integralformel nur zwei variable Gr\"o\ss en umfasst, zwischen welchen die Relation ausfindig gemacht werden muss, mit welcher der Wert dieser Formel maximal oder minimal wird, wenn welches auf gekr\"ummte Linien \"ubertragen wird, m\"ussen sie so beschaffen sein, dass deren Natur durch eine Gleichung zwischen zwei Koordinaten ausgedr\"uckt wird; daher ist es ersichtlich, dass diese Bedingung nur \"uber derselben Ebene beschriebenen gekr\"ummten Linien zufallen kann.

\paragraph{§2}

Wenn aber die Integralformel drei Variablen wie beispielsweise $x$, $y$ und $z$ involviert, weil sie ja nur einen bestimmten Wert erhalten kann, wenn zwei durch die dritte bestimmt werden, so dass so $y$ wie $z$ als Funktionen von $x$ anzusehen sind, ist es, um das Maximum oder Minimum zu bestimmen, notwendig, dass so zwischen $x$ und $y$ wie zwischen $x$ und $z$ eine entsprechende Relation ermittelt wird; daher, wenn jene drei Variablen $x$, $y$ und $z$ als Koordinaten angesehen werden, entsteht daher eine nicht in derselben Kurve gelegene Kurve, deren Bestimmung nat\"urlich zwei Gleichungen erfordert, von welchen die eine die Relation zwischen $x$ und $y$ die andere hingegen die zwischen $x$ und $z$ ausdr\"uckt.

\paragraph{§3}

Um all dies deutlicher vor Augen zu f\"uhren, wollen wir (Fig. $1$) drei einander normale Achsen $AO$, $OB$ und $OC$ auffassen, von welchen die zwei ersten zwei auf die Grundebene fallen, die dritte $OC$ hingegen zu dieser normal ist. Wenn daher nun $z$ irgendein Punkt der gesuchten Kurve war, pflegen wir seinen Ort durch drei jenen Achsen parallele Koordinaten anzugeben, welche $OX=x$, $XY=y$ und $YZ=z$ seien.
\begin{center}
	\resizebox{0.7\textwidth}{!}{\input{./Fig1.pdf_t}}\\
	\textsc{Fig. 1}
\end{center}
 Daher ist es, um diesen Ort zu erkennen, f\"ur jede beliebige Abszisse $OX=x$ notwendig, dass so die Ordinate $XY=y$ wie auch die andere $YZ=z$ dargeboten werden k\"onnen, wof\"ur also zwei Relationen von N\"oten sind, oder es werden daf\"ur zwei Gleichungen verlangt, aus denen so $y$ wie $z$ durch die dritte $x$ bestimmt werden k\"onnen; dort ist es per se klar, dass mit der Gleichung zwischen $x$ und $y$ die Natur der Projektion der gesuchten Kurve $AOB$ ausgedr\"uckt wird, mit der anderen Gleichung zwischen $x$ und $z$ hingegen, nachdem die $XV$ parallele und $YZ$ gleiche Gerade gezogen worden ist, die Projektion  derselben Kurve in der Ebene $AOC$ dargeboten wird. Auf die gleiche Weise, wenn daher eine Gleichung zwischen $y$ und $z$ gefunden wird, wird die Natur der Projektion in die Ebene $BOC$ bestimmt werden. Es reicht aber, um die Kurve zu bestimmen, aus, nur zwei Projektionen zu kennen, weil ja mit diesen die dritte Projektion schon bestimmt wird.
 
\paragraph{§4}

Wenn daher nun eine Kurve solcher Art verlangt wird, in welcher die Integralformel $\int Vdx$ einen maximalen oder minimalen Wert erhalten soll, wo $V$ irgendeine Funktion nicht nur der drei Variablen $x$, $y$ und $z$ ist, sondern auch deren Differentiale irgendeiner Ordnung involviert und vielleicht auch neue Integralformeln umfasst, sind, um dies zu erledigen, zwei Gleichungen von N\"oten, aus welchen es m\"oglich ist, so den Wert von $y$ wie von $z$ durch $x$ zu bestimmen; wenn dies geleistet werden k\"onnen wird, werden zugleich die beiden gerade erw\"ahnten Projektionen der gesuchten Kurve bekannt werden.

\paragraph{§5}

Um also bei dieser Aufgabe auf die gleiche Weise vorzugehen wie ich es einst bei nur zwei Variablen umfassenden Formeln getan habe, wollen  wir zuerst f\"ur die Variable $y$ und ihre Differentiale $dy=pdx$, $dp=qdx$, $dq=rdx$ etc. setzen. Und auf die gleiche Weise wollen wir f\"ur die Differentiale von $z$ $dz=p^{\prime}dx$, $dp^{\prime}=q^{\prime}dx$, $dq^{\prime}=r^{\prime}$ etc. festlegen, aber von den Integralformeln, die unter Umst\"anden in der Gr\"o\ss e $V$ enthalten sein k\"onnten, wollen wir den Geist hingegen l\"osen, so dass die Gr\"o\ss e $V$ nun als Funktion all dieser Gr\"o\ss en angesehen werden kann: $x$, $y$, $z$, $p$, $p^{\prime}$, $q$, $q^{\prime}$, $r$, $r^{\prime}$ etc., woher man nach auf gewohnte Weise durchgef\"uhrter Differentiation eine solche Form haben wird

\begin{alignat*}{9}
&dV=Mdx&&+Ndy&&+Pdp&&+Qdq&&+Rdr&&+\text{etc.}\\
& &&+N^{\prime}dz&&+P^{\prime}dp^{\prime}&&+Q^{\prime}dq^{\prime}&&+R^{\prime}dr^{\prime}&&+\text{etc.}
\end{alignat*}

\paragraph{§6}

Nachdem diese Form im Allgemeinen festgelegt worden ist, geht die ganze Aufgabe nun darauf zur\"uck, dass daher die zwei aus den Buchstaben $M$, $N$, $N^{\prime}$, $P$, $P^{\prime}$, $Q$, $Q^{\prime}$ etc. zu bildende Gleichungen gefunden werden, aus welchen darauf folgend die Natur der gesuchten Kurve durch die zwei erw\"ahnten Projektionen definiert werden k\"onnen. Hier muss sich aber vor Allem daran erinnert werden, dass in den F\"allen, in denen die Variable $z$ vollkommn fehlt, welche ich schon einst sehr umfassend untersucht habe, die Natur der Gen\"uge leistenden Kurven immer mit dieser Gleichung ausgedr\"uckt wird:

\[
N-\frac{dP}{dx}+\frac{ddQ}{dx^2}-\frac{d^3 R}{dx^3}+\text{etc.}=0.
\]
Daher ist es offenbar, wenn die Variable $y$ nicht vorhanden w\"are und die Integralformel $\int Vdx$ nur die Variablen $x$ und $z$ involvierte, dass die Gleichung f\"ur die gesuchte Kurve diese sein wird:

\[
N^{\prime}-\frac{dP^{\prime}}{dx}+\frac{ddQ^{\prime}}{dx^2}-\frac{d^3 R^{\prime}}{dx^3}+\text{etc.}=0.
\]

\paragraph{§7}

Weil ja aber im gegenw\"artigen Fall zwei Relationen ausfindig zu machen sind, von den die eine zwischen $x$ und $y$, die andere hingegen zwischen $x$ und $z$ besteht, wird die ganze Frage auf den gegenw\"artigen Fall zur\"uckgef\"uhrt werden k\"onnen. Zuerst wird es n\"amlich m\"oglich sein, die eine Projektion zwischen $x$ und $z$ der gesuchten Kurve als gegeben zu betrachten, als w\"are ihre Natur tats\"achlich schon bekannt, so dass nur die andere Relation zwischen $x$ und $y$ ausfindig zu machen ist, was schon durch die gew\"ohnliche Methode leicht erledigt werden k\"onnen wird. Weil n\"amlich nun $z$ als gewisse Funktion von $x$ angesehen werden kann, werden auch die daher derivierten Gr\"o\ss en als solche Funktionen angesehen werden k\"onnen, woher im f\"ur $dV$ angenommenen Differentialwert all diese Terme:

\[
N^{\prime}dz+P^{\prime}dp^{\prime}+Q^{\prime}dq^{\prime}+R^{\prime}dr^{\prime}+\text{etc.}
\] 
schon im Glied $Mdx$ enthalten zu sein anzusehen sein werden; daher, weil der Buchstabe $M$ nicht in die entg\"ultige Gleichung eingeht, wird die Gleichung zwischen $x$ und $y$ mit dieser Gleichung ausgedr\"uckt werden:

\[
N-\frac{dP}{dx}+\frac{dQQ}{dx^2}-\frac{d^3R}{dx^3}+\text{etc.}=0.
\]

\paragraph{§8}

Wenn wir daher nun auf die gleiche Weise den Wert von $y$ betrachten als w\"are er bekannt, so dass so $y$ wie $p$, $q$, $r$ als bekannte Funktionen von $x$ betrachtet werden k\"onnen, werden diese Terme: $Ndy+Pdp+Qdq+Rdr$ zur Form $Mdx$ hinzuzukommen anzusehen sein und so wird die Gleichung zwischen $z$ und $x$ mit dieser Gleichung definiert werden:

\[
N^{\prime}-\frac{dP^{\prime}}{dx}+\frac{ddQ^{\prime}}{dx^2}-\frac{d^3R^{\prime}}{dx^3}+\text{etc.}=0.
\] 

\paragraph{§9}

Aus diesen verbunden folgt offenbar, wenn keine der beiden dieser Gleichungen als bekannt angesehen werden kann, sondern jeder der beiden definiert werden muss, dass dem Gefragten durch Verbinden dieser zwei Gleichungen Gen\"uge geleistet wird:

\begin{alignat*}{9}
& \text{I.} \quad &&N &&-\frac{dP}{dx}&&+\frac{ddQ}{dx^2}&&-\frac{d^3R}{dx^3}&&=0, \\[2mm]
& \text{II.} \quad &&N^{\prime} &&-\frac{dP^{\prime}}{dx}&&+\frac{ddQ^{\prime}}{dx^2}&&-\frac{d^3R^{\prime}}{dx^3}&&=0,
\end{alignat*} 
und diese L\"osung tritt sogar klar zu tage, zu wie vielen Graden auch immer die in der Formel $V$ enthaltenen Differentiale ansteigen.

\paragraph{§10}

Weil aber die L\"osungen solcher h\"ohere Differentiale verwickelnder Probleme meistens allzu schwer werden und sogar meistens vollkommen unbehandelbar werden, werden wir hier nur einfachere F\"alle, in denen die Differentiale in der Formel $V$ nicht weiter als bis hin zum ersten Grad aufsteigen, aufmerksamer betrachten, welche aus aus diesen zwei Gleichung zu entnehmen sein werden:

\[
\text{I.} \quad Ndx=dP \quad \text{und} \quad \text{II.} \quad N^{\prime}=dP^{\prime}.
\]

\paragraph{§11}

Obwohl aber diese zwei Gleichungen die ganze Aufgabe zu l\"osen anzusehen sind, wird es dennoch meistens \"uberaus zutr\"aglich sein, diesen noch eine dritte Gleichung, die freilich in diesen schon enthalten ist, hinzuzuf\"ugen, welche nat\"urlich sehr hilfreich sein wird, um die Rechnung zu vereinfachen. Weil wir n\"amlich $dy=pdx$ und $dz=p^{\prime}dx$ gesetzt haben, finden wir aus jenen zwei Gleichungen:

\[
1\text{°}. \quad Ndy=pdP \quad \text{und} \quad 2\text{°}. \quad N^{\prime}dz=p^{\prime}dP{\prime},
\] 
welche Werte, in der allgemeinen Differentialformel:

\[
dV=Mdx+Ndy+N^{\prime}dz+Pdp+P^{\prime}dp^{\prime}
\]
eingesetzt, diese Form hervorbringen werden:

\begin{alignat*}{9}
&dV&&=Mdx+pdP+Pdp+p^{\prime}dP^{\prime}+P^{\prime}dp^{\prime}
\intertext{oder}
&dV&&=Mdx+d(pP+p^{\prime}P^{\prime}).
\end{alignat*}
Daher wird also, wenn wir der K\"urze wegen $V-Pp-P^{\prime}p^{\prime}=S$ setzen, diese Gleichung entspringen: $Mdx=dS$, welche mit den zwei vorhergehenden $Ndx=dP$ und $N^{\prime}dx=dP^{\prime}$ angenehm verbunden werden k\"onnen wird. Dennoch ist es indes sorgsam zu bemerken, dass jede beliebige dieser drei Gleichungen schon in den zwei \"ubrigen enthalten ist und daher weggelassen werden kann, wenn es nicht sehr oft einen immensen Nutzen beim Entwickeln der Rechnung  verschaffen w\"urde. Nachdem diese Dinge angemerkt worden sind, wollen wir diesen v\"ollig neuen Gegenstand mit einigen Beispielen illustrieren.

\section*{Problem 1}

Die in diesen drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ enthaltene gekr\"ummte Linie ausfindig zu machen, in welcher diese Integralformel: $\int \frac{xdydz}{dx}$ einen maximalen oder minimalen Wert erh\"alt.

\subsection*{L\"osung}

\paragraph{§12}

Weil also $dy=pdx$ und $dz=p^{\prime}dx$ ist, an dessen Stelle wir der Gef\"alligkeit wegen $dz=q$ schreiben wollen, weil ja dieser Buchstabe $p$ in der ersten Bedeutung hier nicht weiter auftaucht, wird unsere Integralformel $\int pq xdx$ sein, so dass $V=pqx$ ist und daher durch Differenzieren wird

\[
dV=pqdx+qxdp+pxdq,
\]
woher wir nach Anstellen eines Vergleiches haben werden

\[
M=pq, \quad N=0, \quad N^{\prime}=0, \quad P=qx \quad \text{und} \quad P^{\prime}=px,
\]
und daher wird $S=-pqx$ werden, weswegen unsere drei Gleichungen diese sein werden;

\[
1\text{°}. \quad pqdx=-d \cdot pqx, \quad 2\text{°} \quad 0=d \cdot qx \quad \text{und} \quad 3\text{°} \quad 0=d \cdot px.
\]

\paragraph{§13}

Aus diesen zwei letzten Gleichungen wird $qx=a$ und $px=b$, woher die ganze Frage schon von selbst aufgel\"ost wird. Weil n\"amlich daher $\frac{q}{p}=\frac{a}{b}=n$ ist, wird $q=np$ sein, und nun werden auch alle \"ubrigen Dinge leicht durch die Variable $p$ definiert werden k\"onnen, w\"ahrend $n=\frac{a}{b}$ ist. Weil n\"amlich $x=\frac{b}{p}$ ist, wird $dx=-\frac{b dp}{pp}$ sein und daher

\[
pdx=dx=-\frac{bdp}{p} \quad \text{und} \quad qdx=dz=-\frac{nbdp}{p},
\]
woher durch Integrieren wird

\[
y=f-b\log p \quad \text{und} \quad z=g-nb\log p.
\]
Deshalb, weil $p=\frac{b}{x}$ ist, wird die Variable $y$ auf die folgende Weise ausgedr\"uckt werden: $y=f-b \log b +b\log x$ oder nach Ver\"andern der Konstanten: $y=f+b\log x$, dann wird aber $z=g+nb \log x$.

\paragraph{§14}

Daher tritt es also klar zu tage, dass jede beiden Projektionen der gesuchten Kurven eine logarithmische Kurve ist; dort wird es f\"orderlich sein bemerkt zu haben, dass in diesen Bestimmungen die vier beliebigen Konstanten $f$, $g$, $n$ und $b$ enthalten sind, so wie es die vollst\"andige L\"osung erfordert, weil freilich jede der beiden anf\"anglichen Gleichungen offenbar zweite Differentiale umfasst und es daher notwendig ist, dass jedes der beiden vollst\"andigen Integrale zwei beliebige Konstanten enth\"alt.

\paragraph{§15}

Weil des Weiteren die Relation zwischen $y$ und $z$ so ausgedr\"uckt wird: $z=ny+c$, wird die Projektion der gefundenen Kurve auf die Ebene $BOC$ eine gerade Linie sein; daher tritt es klar zu tage, dass unsere ganze Kurve auf ein und derselben Ebene liegt und daher nicht eigens zum gegenw\"artigen Fall gerechnet werden kann. Dennoch wird indes unsere Methode auch daher nicht unwesentlich illustriert, weil sie aufzeigt, wann immer die gefundene Kurve in derselben Ebene beschrieben werden kann.

\section*{Problem 2}

Die in den drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ enthaltene gekr\"ummte Line zu finden, in welcher diese Integralformel:

\[
\int \frac{(y+z)dydz}{dx}
\]  
einen maximalen oder minimalen erh\"alt.

\subsection*{L\"osung}

Nachdem hier $dy=pdx$ und $dz=p^{\prime}dx=qdx$ gesetzt worden ist, wird $V=pq(y+z)$ sein, und daher durch Differenzieren:

\[
dV=pqdy+pqdz+(y+z)qdp+(y+z)pdq.
\]
Daher werden wir nach Anstellen eines Vergleiches mit der allgemeinen Formel

\[
DV=Mdx+Ndy+N^{\prime} dz+Pdp+P^{\prime}dp^{\prime}
\]
$M=0$, $N=pq$, $N^{\prime}=pq$, $P=(y+z)q$ und $P^{\prime}=(y+z)p$ haben; daher wird also $S=V-Pp-P^{\prime}q=-pq(y+z)$ werden. Aus diesen werden unsere drei Gleichungen sein:

\begin{alignat*}{9}
&1\text{°}. \quad &&{}&&0&&=-d \cdot pq \cdot (y+z),\\
&2\text{°}. \quad &&pqd&&x&&= d \cdot (y+z)q\\
&3\text{°}. \quad &&pqd&&x&&= d \cdot (y+z)p.
\end{alignat*}
Die erste liefert sofort $pq(y+z)=a$, so dass $y+z=\frac{a}{pq}$ ist, welcher Wert in den \"ubrigen eingesetzt gibt:

\[
1\text{°}. \quad pqdx=d \cdot \frac{a}{p}=-\frac{adp}{pp}, \quad 2\text{°}. \quad pqdx=d \cdot \frac{a}{q}=-\frac{a dq}{qq}.
\]
Daher folgt, dass $\frac{dp}{pp}=\frac{dq}{qq}$ sein wird; als logische Konsequenz ist $-\frac{1}{p}=-\frac{1}{q}-b$ oder $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}+b$, woher wir $q=\frac{cp}{c+p}$ finden. Und so wird die erste Gleichung $y+z=\frac{a(c+p)}{cpp}$, die \"ubrigen geben hingegen

\[
pqdx=-\frac{adp}{pp} \quad \text{und daher} \quad dx=-\frac{a(c+p)dp}{cp^4},
\]
deren Integral liefert

\[
x=\frac{a}{3p^3}+\frac{a}{2cpp}+f.
\]

\paragraph{§17}

Des Weiteren wird wegen $dy=pdx$ nun $dy=-\frac{a(c+p)dp}{cp^3}$ sein, deren Integral liefert

\[
y=\frac{a}{2pp}+\frac{a}{cp}+g.
\]
F\"ur die dritte Koordinate $z$, weil wir ja schon gesehen haben, dass $y+z=\frac{a(c+p)}{cpp}$ ist, wird nun sein

\[
z=\frac{a-2gpp}{2pp}=\frac{a}{2pp}-g.
\]
Hier sind also wiederum vier beliebige Konstanten eingef\"uhrt worden; daher wird eingesehen wird, dass diese L\"osung vollst\"andig ist.

\paragraph{§18}

Hier haben wir freilich alle drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ durch dieselbe Variable $p$ ausgedr\"uckt gegeben, was f\"ur die Konstruktion der Kurve denselben Nutzen mit sich bringt, weil ja f\"ur die einzelnen anstelle von $p$ angenommenen Werte ebenso viele Punkte der Kurve definiert werden; daher wird es nicht schwer eingesehen, dass diese ganze Kurve nicht in derselben Ebene gelegen ist, deshalb weil aus diesen drei Formeln durch Finden von $p$ keine solche Gleichung: $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ gebildet werden kann. Der Buchstabe $p$ wird sich aber auf die folgende Weise eliminieren lassen. Weil n\"amlich $y-z=\frac{a}{cp}+2g$ ist, wird sein

\[
p=\frac{a}{c(y-z-2g)},
\]
welcher Wert in der ersten Gleichung eingesetzt eine Gleichung zwischen $x$, $y$ und $z$ hervorbringen wird, welcher die hinzugef\"ugt werden k\"onnen wird, die aus der dritten $z+g=\frac{a}{2pp}$ entspringt, woher wird:

\[
2a(z+g)=cc(y-z-2g)^2.
\]
Aber diese Formeln tragen nichts dazu bei, um die Kurve zu beschreiben. Im \"Ubrigen ist es ersichtlich, dass diese Kurve algebraisch ist, anders als die Kurve, die im vorhergehenden Problem gefunden worden war.

\section*{Problem 3}

Die in diesen drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ enthaltene gekr\"ummte Linie zu finden, in welcher diese Integralformel:

\[
\int X \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}
\]
einen maximalen oder minimalen Wert annimmt, w\"ahrend $X$ irgendeine Funktion von $x$ ist.

\subsection*{L\"osung}

\paragraph{§19}

Hier wird also wegen $dy=pdx$ und $dz=qdx$ sein

\[
V=X\sqrt{1+pp+qq},
\]
wo wir der K\"urze wegen $\sqrt{1+pp+qq}=s$ setzen wollen, so dass $V=Xs$ ist. Weil also die Buchstaben $y$ und $z$ nicht enthalten sind, wird so $N=0$ wie $N^{\prime}=0$ sein; des Weiteren wird wegen $ds=\frac{pdp+qdq}{s}$ $P=\frac{Xp}{s}$ und $P^{\prime}=\frac{Xq}{s}$ sein, woher die zwei die L\"osungen enthaltenden Gleichungen $dP=0$ und $dP^{\prime}=0$ sein werden, und so werden wir $\frac{Xp}{s}=a$ und $\frac{Xq}{s}=b=na$ haben.

\paragraph{§20}

Daher tritt es also sofort klar zu tage, dass $\frac{q}{p}=n$ oder $q=np$ sein wird, und daher weiter $dz=ndy$ und durch Integrieren $z=ny+c$, so dass die Projektion auf die Ebene $BOC$ eine gerade Linie ist und daher die ganze gesuchte Kurve in einer gewissen Ebene liegt. Des Weiteren, weil $s=\sqrt{1+(nn+1)pp}$ ist, wird aber sein

\[
Xp=a\sqrt{1+(nn+1)pp};
\] 
daher, nachdem der K\"urze wegen $nn+1=m$ gesetzt worden ist, erschlie\ss en wir $p=\frac{a}{\sqrt{X^2-aamm}}$. Und so werden wir f\"ur jede der beiden gesuchten Projektionen diese Differentialgleichungen haben:

\[
dy=\frac{adx}{\sqrt{X^2-mmaa}} \quad \text{und} \quad dz=\frac{nadx}{\sqrt{X^2-mmaa}}.
\]

\paragraph{§21}

Hier wird es f\"orderlich sein bemerkt zu haben, weil $\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ das Kurvenelemet ausdr\"uckt, dass die Kurve im Fall $X=x$ eine \textit{Kettenlinie} sein wird, weil freilich ihr Schwerpunkt den untersten Platz unter allen anderen isoperimetrischen einnimmt; aber, wenn $X=\frac{1}{\sqrt{x}}$ war, so dass gilt

\[
dy=\frac{a dx \sqrt{x}}{\sqrt{1-mmaax}} \quad \text{und} \quad dz=\frac{nadx\sqrt{x}}{\sqrt{1-mmaax}},
\]
es ist hingegen offenbar, dass die gefundene Kurve eine \textit{Brachystochrone} ist.

\section*{Problem 4}

Die durch die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ zu bestimmende gekr\"ummte Linie zu finden, in welcher diese Integralformel:

\[
\int \sqrt{(xx+yy+zz)(dx^2+dy^2+dz^2)}
\]
einen maximalen oder minimalen Wert Wert annimmt.

\subsection*{L\"osung}

\paragraph{§22}

Wir wollen der K\"urze wegen $\sqrt{xx+yy+zz}=v$ und $\sqrt{1+pp+qq}=s$ setzen, so dass unsere Integralformel $\int Vdx$ wird, w\"ahrend $V=vs$ und daher $dV=sdv+vds$ ist; aber es wird hingegen sein

\[
dv=\frac{xdx+ydy+zdz}{v} \quad \text{und} \quad ds=\frac{pdp+qdq}{s},
\]
woher es folgt, dass sein wird

\[
M=\frac{sx}{v}, \quad N=\frac{sy}{v}, \quad N^{\prime}=\frac{sz}{v}, \quad P=\frac{yp}{s}, \quad P^{\prime}=\frac{vq}{s}.
\]

\paragraph{§23}

Daher werden also, weil wird:

\[
S=V-Pp-P^{\prime}q=\frac{v(ss-pp-qq)}{s}=\frac{v}{s},
\]
unsere drei Gleichungen sein:

\[
\text{I.} \quad \frac{sxdx}{v}=d \cdot \frac{v}{s}, \quad \text{II.} \quad \frac{sydx}{v}=d \cdot \frac{vp}{s} \quad \text{und} \quad \text{III.} \quad \frac{szdx}{v}=d \cdot \frac{vq}{s}.
\]
Aus diesen muss die L\"osung unseres Problems gefunden werden, was sehr viel Geschicklichkeit und au\ss erordentliche Rechenkunstgriffe erfordert.

\paragraph{§24}

Weil also gilt

\[
d \cdot \frac{pv}{s}=\frac{vdp}{s}+p \cdot d \cdot \frac{v}{s} \quad \text{und} \quad d \cdot \frac{qv}{s}=\frac{vdq}{s}+q \cdot d \cdot \frac{v}{s},
\]
wird die L\"osung wegen $d \cdot \frac{v}{s}=\frac{sxdx}{v}$ nach dieser Substitution zu diesen zwei Gleichungen gef\"uhrt werden:

\begin{alignat*}{9}
& \text{I.} \quad &&(ydx-xdy)&&=\frac{vvdp}{ss}, \\[2mm]
& \text{II.} \quad &&(zdx-zdz)&&=\frac{vvdq}{ss},
\end{alignat*}
weswegen wir sehen wollen, mit welchen Kunstgriffen wir daher die Integralformeln finden k\"onnen, weil ja diese Gleichungen wegen $p=\frac{dy}{dx}$ und $q=\frac{dz}{dx}$ offenbar differentiale zweiten Grades sind.

\paragraph{§25}

Die eine dieser Gleichungen gibt durch die andere dividiert

\[
\frac{ydx-xdy}{zdx-xdz}=\frac{dp}{dq},
\]
woher diese Gleichung entsprie\ss t:

\[
\frac{dp}{ydx-xdy}=\frac{dq}{zdx-xdz} \quad \text{oder} \quad \frac{dp}{y-px}=\frac{dq}{z-qz}.
\]
Wenn daher diese Gleichung nun so dargestellt wird:

\[
-\frac{xdp}{y-px}=-\frac{xdq}{z-qx},
\]
tritt es schnell klar zu tage, dass der Z\"ahler in jedem der beiden Br\"uche das Differential des Nenners selbst ist und daher sein wird:

\[
\log (y-px)=\log (z-qx)-\log n,
\]
woher wir $z-qx=n(y-px)$ haben werden, so dass daher nun $z$ durch die \"ubrigen Buchstaben bestimmt wird.

\paragraph{§26}

Dieser Wert werde nun anstelle von $z-qx$ in unserer Differentialgleichung eingesetzt und es wird $dq=ndp$ hervorgehen, als logische Konsequenz ist $q=np+a$, und daher wird weiter durch Integrieren $z=ny+ax+b$, welche Gleichung, weil die eine Dimensionen hat, aufzeigt, dass die ganze Kurve, die wir suchen, in einer bestimmten Ebene liegt.

\paragraph{§27}

Hier ist es nat\"urlich sittsam anzumerken, dass in der letzten gefundenen Gleichungen die hinzugef\"ugte Konstante $b$ schon durch die vorhergehenden Dinge bestimmt wird. Weil wir n\"amlich $z-qx=ny$ gefunden haben, wird wegen $q=np+a$ $z=ny+ax$ sein. Nun haben wir also

\[
v=\sqrt{xx+yy+(ny+ax)^2} \quad \text{und} \quad s=\sqrt{1+pp+(np+a)^2},
\] 
so dass die Frage nun auf die nur zwei Variablen $x$ und $y$ zur\"uckgef\"uhrt worden ist, wegen $p=\frac{dy}{dx}$, deren Relation aus der anderen der anf\"anglichen Gleichungen zu entnehmen ist:

\[
ydx-xdy=\frac{vvdp}{ss},
\]
welche nach Einsetzen der Werte f\"ur $v$ und $s$ in diese Form transformiert wird:

\[
\frac{ydx-xdy}{xx+yy+(ny+ax)^2}=\frac{dp}{1+pp+(np+a)^2},
\]
deren linke Seite nach Setzen von $y=ux$ diese Form annimmt:

\[
-\frac{du}{1+uu+(nu+a)^2}=\frac{dp}{1+pp+(np+a)^2},
\]
so dass wir eine separierte Differentialgleichung erlangt haben, von welcher die zwei Seiten sogar vollkommen gleich sind, so dass es ausreicht, nur die eine der beiden integriert zu haben.

\paragraph{§28}

Wir wollen also mit der rechten Seite beginnen, welche entwickelt diese wird

\[
\frac{dp}{1+aa+2anp+(nn+1)pp}
\]
und welche wir so darstellen wollen:

\[
\frac{1}{nn+1} \cdot \frac{dp}{pp+2 \alpha p+\beta},
\]
dass ist

\[
\alpha =\frac{an}{1+nn} \quad \text{und} \quad \beta =\frac{1+aa}{1+nn},
\]
wof\"ur wir $p+\alpha =t$ oder $p=t-\alpha$ setzen wollen, und daher wird diese Seite werden

\[
\frac{1}{1+nn} \cdot \frac{dt}{tt-\alpha \alpha +\beta},
\]
deren Integral sein wird:

\[
\frac{1}{(1+nn)\sqrt{\beta -\alpha \alpha}} \cdot \arctan \frac{t}{\sqrt{\beta-\alpha \alpha}}
\]
oder

\[
\frac{1}{(1+nn)\sqrt{\beta -\alpha \alpha}}\arctan \frac{p+\alpha}{\sqrt{\beta -\alpha \alpha}}.
\]
Und auf dieselbe Weise, indem $u$ anstelle von $p$ geschrieben wird, ist das Integral der linken Seite

\[
-\frac{1}{(1+nn)\sqrt{\beta -\alpha \alpha}} \arctan \frac{u+\alpha}{\sqrt{\beta -\alpha \alpha}}.
\]

\paragraph{§29}

Daher wird also das Integral unserer letzten Gleichung wegen der gemeinsamen Koeffizienten sein:

\[
C-\arctan \frac{u+\alpha}{\sqrt{\beta -\alpha \alpha}}= \arctan \frac{p+\alpha}{\sqrt{\beta -\alpha \alpha}},
\]
oder die Summe dieser zwei Bogen wird einer konstanten Gr\"o\ss e gleich; als logische Konsequenz muss auch der Tangens der Summe dieser zwei Bogen konstant sein, welche ist:

\[
\frac{(p+u+2\alpha)\sqrt{\beta -\alpha \alpha}}{\beta -2 \alpha \alpha -\alpha(p+u)-pu}=C,
\]
woher die Gleichung so dargestellt werden k\"onnen wird:

\[
pi+\alpha(p+u)+2 \alpha \alpha -\beta =C(p+u+2\alpha)
\]
oder

\[
pu-\beta =f(p+u+2\alpha).
\]
Wenn wir hier daher anstelle von $\alpha$ und $\beta$ wieder die angenommenen Werte einsetzen, welche diese waren

\[
\alpha = \frac{a n}{1+nn} \quad \text{und} \quad \beta = \frac{1+aa}{1+nn},
\]
wird unsere Gleichung sein:

\[
(1+nn)pu-aa-1=f((1+nn)(p+u)+2an).
\]
Dort ist es anzumerken, dass $u=\frac{y}{x}$ und $p=\frac{dy}{dx}$ ist, so dass die Gleichung noch eine differentiale ist. Weil wir, um sie zu integrieren, $y=ux$ und $dy=pdx$ gesetzt haben, wird $pdx=udx+xdu$ sein, woher $\frac{dx}{x}=\frac{du}{p-u}$ erschlossen wird. Nun ist es aber m\"oglich, aus der letzten gefundenen Gleichung den Wert von $p$ durch $u$ zu definieren, nach Finden von welchem die Differentialgleichung $\frac{dx}{x}=\frac{du}{p-u}$ separiert ist, deren Integration also keine Schwierigkeiten bereitet. Daher wird $x$ also durch eine gewisse Funktion von $u=\frac{y}{x}$ ausgedr\"uckt werden, welche also eine Gleichung zwischen $x$ und $y$ sein wird; aber f\"ur die Koordinate $z$ haben wir hingegen schon gesehen, dass $z=ny+ax$ ist und so ist die bisher angegebene L\"osung vollst\"andig.

\paragraph{§30}

Hier passiert es aber zum Vorteil, dass es sich algebraisch erledigen l\"asst. Weil n\"amlich $p=\frac{\beta+f(u+2\alpha)}{u-f}$ ist, wird nach der Substitution aufgefunden

\[
\frac{dx}{x}=\frac{du(u-f)}{\beta +2\alpha f+2 fu-uu},
\]
deren Integral offenbar ist:

\[
\log x=C-\frac{1}{2} \log(\beta +2 \alpha f+3fu-uu),
\]
woher nach einer Delogarithmierung sein wird

\[
x \sqrt{\beta+2 \alpha f+2fu-uu}=g.
\]
Schlie\ss lich, wenn wir hier anstelle von $u$ $\frac{y}{x}$ schreiben, geht diese Gleichung hervor:

\[
\beta xx+2 \alpha f xx-2fxy-yy=gg,
\]
woher es also klar zu tage tritt, dass die Projektion ein Kegelschnitt ist. Und wenn wir hier $\frac{z-ax}{n}$ anstelle von $y$ schreiben, wird eine Gleichung zwischen $x$ und $y$ f\"ur die andere Projektion erhalten, welche also auch die f\"ur einen Kegelschnitt sein wird. Daher wird also eingesehen, dass dieses Problem, welches sehr schwierig erschien, zu einer sehr einfachen L\"osung gef\"uhrt worden ist.

\section*{Problem 5}

Nach Setzen von $\sqrt{xx+yy+zz}=v$, wenn $w$ irgendeine Funktion von $v$ war, die durch die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ zu definierende Kurve zu finden, in welcher diese Integralformel:

\[
\int w \sqrt{dx^2 +dy^2+dz^2}
\]
einen maximalen oder minimalen Wert erhl\"alt.

\subsection*{L\"osung}

\paragraph{§31}

Nachdem also $dy=pdx$ und $dz=qdx$ sowie $\sqrt{1+pp+qq}=s$ gesetzt worden ist, wird unsere Formel des Maximums $\int wsdx$ und daher $V=ws$ sein; dann wird aber nach Setzen $d w=w^{\prime}dy$ wegen

\[
dv= \frac{xdx+ydy+zdz}{v} \quad \text{und} \quad ds=\frac{pdp+qdq}{s}
\]
sein

\[
dV=s \omega^{\prime} \frac{(xdx+ydy+zdz)}{v}+\frac{w(pdp+qdq)}{s}.
\]
Daher werden wir also haben:

\[
M=\frac{\omega^{\prime} sx}{v}, \quad N^{\prime}=\frac{w^{\prime}sy}{v}, \quad N^{\prime}=\frac{\omega^{\prime} sz}{v}, \quad P=\frac{w p}{s}, \quad P^{\prime}=\frac{wq}{s}.
\]
Aus diesen wird weiter erschlossen:

\[
S=\frac{w(ss-pp-qq)}{s}=\frac{w}{s}.
\]

\paragraph{§32}

Die drei Gleichungen, aus denen die L\"osung entnommen werden muss, werden also sein:

\begin{alignat*}{9}
&\text{I.} \quad && \frac{w^{\prime} sxdx}{v}&&=d \cdot \frac{w}{s}, \\[2mm]
&\text{II.} \quad && \frac{w^{\prime} sydx}{v}&&=d \cdot \frac{wp}{s}, \\[2mm]
&\text{III.} \quad && \frac{w^{\prime} szdx}{v}&&=d \cdot \frac{wq}{s} 
\end{alignat*}
Daher, weil gilt:

\[
d \cdot \frac{wp}{s}=\frac{wdp}{s}+p \cdot d \cdot \frac{w}{s} \quad \text{und} \quad d \cdot \frac{w q}{s}=\frac{w dq}{s}+q \cdot d \cdot \frac{w}{s},
\]
wenn hier anstelle von $d \cdot \frac{w}{s}$ sein Wert aus der ersten Gleichung $\frac{w^{\prime}sxdx}{v}$ geschrieben wird, werden wir die zwei folgenden Gleichungen erlangen:

\begin{alignat*}{9}
&\text{I.} \quad && \frac{w^{\prime}s}{v} (ydx &&-xdy)&&=\frac{wdp}{s},\\[2mm]
&\text{II.} \quad && \frac{w^{\prime}s}{v} (zdx &&-xdz)&&=\frac{wdq}{s},
\end{alignat*}
welche in der folgenden Form dargestellt werden:

\begin{alignat*}{9}
& \text{I.} \quad && \frac{ydx-xdy}{vv} &&=\frac{w dp}{w^{\prime} v ss}
\intertext{und}
& \text{II.} \quad && \frac{zdx-xdz}{vv} &&=\frac{w dq}{w^{\prime} v ss},
\end{alignat*}
und diese sind die zwei Gleichungen, aus welchen wir die verlangte L\"osung derivieren m\"ussen.

\paragraph{§33}

Zuerst wollen wir also die eine dieser Gleichungen durch die andere dividieren und wird werden haben

\[
\frac{zdx-xdz}{ydx-xdy}=\frac{dq}{dp},
\]
woher wir wegen $dy=pdx$ und $dz=qdx$ diese Gleichung ableiten:

\[
\frac{dq}{z-qx}=\frac{dp}{y-px},
\]
so dass ist

\[
-\frac{xdq}{z-qx}=-\frac{xdp}{y-px};
\]
dort, weil die Z\"ahler die Differentiale der Nenner sind, liefert die Integration sofort

\[
z-qx=m(y-px).
\]
Nachdem dieser Wert eingesetzt worden ist, liefert jene Differentialgleichung $dq=mdp$ und daher wird durch Integrieren $q=mp+n$ sein, welcher Wert in jener integrierten eingesetzt $z=my+nx$ liefert, welche, weil die Koordinaten nur eine einzige Dimension enthalten, anzeigt, dass die ganze Gen\"uge leistende Kurve in derselben Ebene gelegen ist. Daher werden wir also aus unseren anf\"anglichen Gleichungen die zwei Gr\"o\ss en $z$ und $q$ finden k\"onnen, woher werden wird

\begin{alignat*}{9}
&vv&&=xx&&+yy&&+(my+nx)^2
\intertext{und}
&ss&&=1 &&+pp&&+(mp+n)^2,
\end{alignat*}
und so wird nur eine einzige zu l\"osende Gleichung zur\"uckbleiben, nat\"urlich:

\[
\frac{ydx-xdy}{vv}=\frac{w dp}{w^{\prime} vss},
\]
in welcher wir vor Allem $y=ux$ setzen wollen, dass sie in diese Form \"uberf\"uhrt wird:

\[
-\frac{du}{1+uu+(mu+n)^2}= \frac{wdp}{w^{\prime} v(1+pp+(mp+n)^2)},
\] 
welche, nachdem der K\"urze wehen $\frac{w}{w^{\prime} v}=r$ gesetzt worden ist, so dargestellt werde:

\[
\frac{du}{1+uu+(mu+n)^2}+\frac{rdp}{1+pp+(mp+n)^2}=0,
\]
in welcher also zwei einander vollkommen gleiche Differentialformeln enthalten sind.

\paragraph{§34}

Es ist aber ersichtlich, dass die Integration jeder der beiden Seiten, nachdem nat\"urlich der Buchstabe $r$ weggelassen worden ist, auf einen gewissen Kreisbogen reduziert wird. Dieser Sache wegen wollen wir die Winkel selbst in die Rechung einf\"uhren, indem wir festlegen:

\[
\frac{\gamma du}{1+uu+(mu+n)^2}=d \varphi
\] 
und

\[
\frac{\gamma dp}{1+pp+(mp+n)^2}=d \psi.
\]
Und so wird unsere Gleichung auf diese sehr einfache Form zur\"uckgef\"uhrt werden: $d \varphi +r d \psi =0$. Die ganze Aufgabe geht also darauf zur\"uck, wie diese Gleichungen behandelt und integrierbar gemacht werden muss. Es ist aber ersichtlich, dass diese Gleichung Differentiale zweiten Grades involviert.

\paragraph{§35}

Leicht wird es aber klar, dass der Winkel $\varphi $ so beschaffen ist, dass sein Tangens mit einer solchen Form: $\alpha u+\beta$ ausgedr\"uckt wird; daher, wenn wir $\tan \varphi =\alpha u+\beta$ setzen, wird sein

\[
d \varphi =\frac{\alpha dp}{1+(\alpha u+\beta)^2}.
\]
Diese Form werde nun mit der vorgelegten verglichen, dass daher die Werte der Buchstaben $\alpha$ und $\beta$ zusammen mit $\gamma$ durch die Buchstaben $m$ und $n$ bestimmt werden, was geschehen wird, indem diese Gleichung:

\[
\alpha (1+uu+(mu+n)^2)=\gamma (1+(\alpha u +\beta)^2),
\]
zu einer identischen gemacht wird. Weil f\"ur dieses Ziel nach der Entwicklung die folgende Gleichung entspringt:

\[
\alpha (mm+1)uu+2 \alpha mnu+\alpha (nn+1)=\alpha \alpha \gamma uu+2 \gamma \alpha \beta u+ \gamma (\beta \beta +1),
\]
finden wir daher die folgenden drei Bestimmungen:

\[
1\text{°}. \quad \alpha \gamma =mm+1, \quad 2\text{°}. \quad \beta \gamma =mn, \quad 3\text{°}. \quad \gamma(\beta \beta +1)=\alpha(nn+1),
\]
aus deren erster $\alpha =\frac{mm+1}{\gamma}$ erschlossen wird, aus der zweiten wird $\beta=\frac{mn}{\gamma}$ erschlossen, welche Werte in der dritten eingesetzt $\gamma \gamma =mm+nn+1$ und daher $\gamma =\sqrt{mm+nn+1}$ geben und daraus dann schlie\ss lich

\[
\alpha =\frac{mm+1}{\sqrt{mm+nn+1}} \quad \text{und} \quad \beta =\frac{mn}{\sqrt{mm+nn+1}}.
\]

\paragraph{§36}

Nachdem wir also die Buchstaben $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ durch $m$ und $n$ bestimmt haben, wird $\tan \varphi =\alpha u+\beta$ sein. Weil wir des Weiteren oben gefunden haben:

\[
1+uu+(mu+n)^2=\frac{\gamma}{\alpha}(1+(\alpha u+\beta)^2),
\]
wird, wenn wir anstelle von $u$ wieder den Wert $\frac{y}{x}$ einsetzen, hervorgehen:

\[
xx+yy+(my+nx)^2=\frac{\gamma}{\alpha}(xx+(\alpha \gamma+\beta x)^2),
\]
wo das erste Glied der Wert von $vv$ ist, woher also folgt, dass sein wird:

\[
xx+(\alpha y +\beta x)^2=\frac{\alpha}{\gamma}vv= \frac{(mm+1)vv}{mm+nn+1}.
\]
Au\ss erdem werden wir aber haben

\[
\tan \varphi =\frac{\alpha \gamma +\beta x}{x};
\]
daher, wenn wir anstelle von

\[
\frac{\alpha}{\gamma}=\frac{mm+1}{mm+nn+1}
\]
$\delta \delta$ schreiben, dass ist

\[
xx+(\alpha \gamma +\beta x)^2=\delta \delta vv,
\]
wird sein

\[
\sin \varphi =\frac{\alpha \gamma +\beta x}{\delta v} \quad \text{und} \quad \cos \varphi =\frac{x}{\delta v}
\]
und daher weiter:

\[
\alpha \gamma +\beta x=\delta v \sin \varphi \quad \text{und} \quad x=\delta v \cos \varphi,
\]
w\"ahrend $\delta =\sqrt{\frac{mm+1}{mm+nn+1}}$ ist. Daher tritt es klar zu tage, wenn der Winkel $\varphi$ nur durch $v$ gegeben w\"are, dass so $x$ wie $y$ durch dieselbe Gr\"o\ss e $v$ ausgedr\"uckt sein werden und so das ganze Problem vollkommen gel\"ost sein wird.

\paragraph{§37}

Auf die gleiche Weise, weil wir festgelegt haben

\[
d \psi =\frac{\gamma dp}{1+pp+(mp+n)^2},
\]
wird hingegen auch $\tan \psi =\alpha p+\beta $ gesetzt werden k\"onnen, wo die Buchstaben $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ die vorigen Werte beibehalten werden; und es wird wie zuvor sein:

\[
1+(\alpha p+\beta)^2=\frac{\alpha}{\gamma}(1+pp+(mp+n)^2)=\frac{\alpha}{\gamma}ss;
\]
dann ist aber die anf\"angliche aufzul\"osende Gleichung: $d \varphi +r d \psi=0$, w\"ahrend $r=\frac{w}{w^{\prime}v}$ ist, so dass dann ist

\[
d\psi +\frac{w^{\prime} v d\psi}{w}=0.
\]

\paragraph{§38}

Weil ja aber in den vorhergehenden Formeln die Buchstaben $x$ und $y$ noch enthalten sind, wird es f\"ur die Bestimmung der Relation zwischen $v$ und $\varphi$ zutr\"aglich sein, sie aus der Rechnung auszuschlie\ss en, was am bequemsten mit Hilfe dieser Gleichungen geleistet werden wird

\[
\alpha y+\beta x =\delta v \sin \varphi \quad \text{und} x=\delta v \cos \varphi,
\]
welche differenziert diese liefern:

\[
\alpha dy +\beta dx =\delta (dv \sin \varphi +v d \varphi \cos \varphi) \quad \text{und} \quad dx=\delta(dv \cos \varphi -v d\varphi \sin \varphi),
\] 
von welchen jene durch diese wegen $dy=pdx$ liefert:

\[
\alpha p+\beta =\frac{dv \sin \varphi +v d \varphi \cos \varphi}{dv \cos \varphi -v d \varphi \sin \varphi}.
\]
Wir haben aber gesehen, dass $\alpha p +\beta = \tan \psi $ ist, und daher wird nun sein:

\[
\tan \psi = \frac{dv \sin \varphi +v d \varphi \cos \varphi}{dv \cos \varphi -v d \varphi \sin \varphi}.
\]

\paragraph{§39}

In der Aufl\"osung dieser Gleichung besteht nun der wesentliche Kunstgriff. Wenn wir nat\"urlich $vd \varphi =tdv$ setzen, dass diese Gleichung entsteht:

\[
\tan \psi = \frac{\sin \varphi +t \cos \varphi}{\cos \varphi -t \sin \varphi}= \frac{\tan \varphi +t}{1-t \tan \varphi},
\]
dr\"uckt diese letzte Formel offenbar den Tangens der Summe der zweier Winkel aus, von denen der eine $\varphi $, der Tangens des anderen hingegen $=t$ ist, und so wird die Summe dieser Winkel dem Winkel $\psi$ gleich werden, so dass nun $\psi= \varphi + \arctan t$ ist, welche Gleichung differenziert gibt

\[
d \psi= d \varphi +\frac{dt}{1+tt},
\]
welcher Wert in unserer anf\"anglichen Gleichung eingesetzt liefert

\[
\frac{w^{\prime} v d \varphi}{w}+d \varphi +\frac{dt}{1+tt}=0,
\]
womit wir freilich wenig zu gewinnen scheinen, weil ja diese Gleichung wegen $t=\frac{v d \varphi}{dv}$ noch Differentiale zweiten Grades involviert, und sogar die drei Variablen $v$, $\varphi$ und $t$ verwickelt, welche sich freilich auf zwei zur\"uckf\"uhren lie\ss en, wenn wir anstelle von $t$ den angenommenen Wert $\frac{v d \varphi}{dv}$ schreiben wollten, wonach wir aber auf eine h\"ochst verworrene Gleichung stie\ss en.

\paragraph{§40}

Aber wir wollen, weil wir ja $\frac{vd \varphi}{dv}=t$ gesetzt haben, in der Tat eher den Wert $d \varphi =\frac{t dv}{v}$ annehmen, welcher in unsere Gleichung eingef\"uhrt liefert

\[
\frac{w^{\prime} tdv}{w}+\frac{t dv}{v}+\frac{dt}{1+tt}=0,
\]
und diese Gleichung nimmt durch $t$ wegen $w^{\prime}dv =dw$ diese wundersch\"one Form an:

\[
\frac{dw}{w}+\frac{dv}{v}+\frac{dt}{t(1+tt)}=0,
\]
deren Integration also nicht weiter Schwierigkeiten bereitet. Weil n\"amlich ist

\[
\int \frac{dt}{t(1+tt)}= \log \frac{t}{\sqrt{1+tt}},
\]
wird unsere Integralgleichung sein:

\[
\frac{wv t}{\sqrt{1+tt}}=C,
\]
und auf diese Weise haben wir schon eine einzige Integration absolviert, so dass uns nur eine noch zu behandeln \"ubrig gelassen wird.

\paragraph{§41}

Aus dieser Gleichung wollen wir nun den Wert von $t$ finden, der aufgefunden wird als

\[
=\frac{C}{\sqrt{wwvv-CC}},
\]
woher, weil $t=\frac{vd \varphi}{dv}$ ist, wir erschlie\ss en, dass sein wird

\[
d \varphi = \frac{Cdv}{v\sqrt{wwvv-CC}},
\]
welches die entg\"ultige die ganze Aufgabe l\"osende Gleichung ist. Weil n\"amlich $w$ eine Funktion von $v$ ist, wird daher der Winkel $\varphi$ durch die Gr\"o\ss e $v$ ausgedr\"uckt aufgefunden, welcher eine neue Konstante erhalten wird, so dass wir nun vier beliebige Konstanten in der Rechnung haben, nat\"urlich au\ss er dieser neuen diese drei $C$, $m$ und $n$, weil ja, wie wir gesehen haben, war

\[
\alpha = \frac{mm+1}{\sqrt{mm+nn+1}}, \quad \beta = \frac{mn}{\sqrt{mm+nn+1}}, \quad \gamma= \sqrt{mm+nn+1}, \quad \delta= \sqrt{\frac{mm+1}{mm+nn+1}}.
\]
Daher tritt es klar zu tage, dass unsere L\"osung ganz und gar vollst\"andig ist, deshalb weil wir am Anfang zu zwei Differentialgleichungen zweiten Grades gef\"uhrt worden sind, deren vollst\"andige Integrale notwendigerweise vier beliebige Konstanten erfordern.

\paragraph{§42}

Nachdem aber der Winkel $\varphi$ bestimmt worden ist, werden f\"ur jeden Wert des Buchstabens $v$ die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ am leichtesten durch die folgenden Formeln definiert werden:

\begin{alignat*}{9}
& \text{I.} \quad && &&x&&=\delta v \cos \varphi, \\
& \text{II.} \quad &&\alpha &&y&&+\beta x =\delta \sin \varphi ,\\
&\text{III.} \quad && &&z&&=my+nx.
\end{alignat*}
Im \"Ubrigen h\"atten wir sofort, als wir herausgefunden haben, dass die ganze Kurve in derselben Ebene gelegen ist, die L\"osung um Vieles leichter angeben k\"onnen. Denn die anf\"angliche Ebene $AOB$, deren Lage von unserem Belieben abh\"angt, h\"atte sich in der Ebene der Gen\"uge leistenden Kurve annehmen lassen, woher wir sofort $z=0$ und daher auch $q=0$ gehabt h\"atten, auf welche Weise die ganze Frage auf nur zwei Variablen zur\"uckgef\"uhrt worden w\"are und mit der gemeinen Methode h\"atte aufgel\"ost werden k\"onnen. Aber au\ss erdem, weil unsere L\"osung uns diese Eigenschaft selbst aufgezeigt hat, war es besonders der M\"uhe wert, jene vorz\"uglichen Kunstgriffe, welche die L\"osung erfordert, genau zu entwickeln.

\paragraph{§43}

Dennoch w\"are es indes auch m\"oglich gewesen, aus der Integralformel, welche ein Maximum oder Minimum sein muss, sofort zu schlie\ss en, dass die Gen\"uge leistende Kurve in derselben Ebene sein muss, deshalb weil diese Integralformel es zul\"asst, auf nur zwei Variablen  reduziert zu werden. 
\begin{center}
	\resizebox{0.7\textwidth}{!}{\input{./Fig2.pdf_t}}\\
	\textsc{Fig. 2}
\end{center}
Weil n\"amlich die Gr\"o\ss e 

\[
v=\sqrt{xx+yy+zz}
\]
in der Figur die Gerade $OZ$ ausdr\"uckt, von welcher also der Buchstabe $w$ irgendeine Funktion bezeichnet, dann aber die Formel $\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ das Kurvenelement selbst bezeichnet, involviert die vorgelegte Integralformel nur zwei Variablen, nat\"urlich die Distanz $OZ=v$ und den Kurvenbogen, und daher h\"atte dieses Problem auf die folgende Weise vorgelegt und aufgel\"ost werden k\"onnen, dass in der Ebene die um das Zentrum $C$ zu beschreibende Kurve $EZz$ (Fig. $2$) gesucht wird, in welcher, nachdem die Distanz $CZ=z$ gesetzt worden ist, von welcher $w$ irgendeine Funktion ist, diese Integralformel $wds$ ein Maximum oder Minimum ist, w\"ahrend $ds$ das Kurvenelement $Zz$ bezeichnet. 

\paragraph{§44}

Um nun die L\"osung m\"oglichst weit zu vereinfachen und m\"oglichst angenehm aus den gew\"ohnlichen isoperimetrischen Prinzipien ableiten zu k\"onnen, wollen wir die Distanz $CZ$ mit dem Buchstaben $x$ bezeichnen, dann werde aber, nachdem die fixe Gerade $CD$ festgelegt worden ist, der Winkel $DCZ=y$ gesetzt und das Kurvenelement wird $ds=\sqrt{dx^2+xxdy^2}$ werden; und weil nun $w$ irgendeine Funktion von $x$ ist, wird die Integralformel, die ein Maximum oder Minimum sein muss, sein: $\int w \sqrt{dx^2+xxdy^2}$, die nach Setzen von $dy=pdx$ diese Form annimmt: $\int wdx \sqrt{1+ppxx}$, so dass hier $V=w\sqrt{1+ppxx}$ ist. Nachdem also im Allgemeinen $dV=Mdx+Ndy+Pdp$ gesetzt worden ist, weil hier die Gr\"o\ss e $y$ hier nicht vorhanden ist, wird sein

\[
N=0 \quad \text{und} \quad P=\frac{wx^2p}{\sqrt{1+ppxx}},
\]
der Buchstabe $M$ geht aber in die Rechnung \"uberhaupt nicht ein, weil die Gleichung f\"ur die gesuchte Kurve $Ndx=dP$ oder $dP=0$ ist, woher sofort folgt

\[
P=\frac{wpxx}{\sqrt{1+ppxx}}=C,
\]
welche Gleichung schon die Natur der Kurve aufzeigt.

\paragraph{§45}

Aus dieser Gleichung finden wir aber $p=\frac{p}{x\sqrt{wwxx-CC}}$, und so wird wegen $p=\frac{dy}{dx}$ sein

\[
dy=\int \frac{Cdx}{x\sqrt{wwxx-CC}},
\]
welche Gleichung vollkommen mit der \"ubereinstimmt, welche wir zuvor durch so gro\ss e Umwege hindurch erlangt haben, wenn wir hier nur anstelle von $x$ wieder $v$ einsetzen; dann wird aber unser Winkel, hier $y$ genannt, derselbe sein, den wir zuvor mit dem Buchstaben $\varphi$ bezeichnet haben. Aus diesem Beispiel wird eingesehen, auf welche Weise oftmals an sich sehr schwere Probleme mit einer leichten Transformation sehr leicht l\"osbar gemacht werden k\"onnen.
\end{document}